Como mencionado por Bruno Pereira em um comentário sobre sua pergunta, você precisa criar um lançador de aplicativos para o SQlite Database Browser.
Para isso, abra um editor de texto, como o Gedit, e crie um documento de texto com o seguinte conteúdo:
[Desktop Entry]
Encoding=UTF-8
Name=SQLite Database Browser
Comment=Create, Edit and Modify SQLite database files
Exec=sqlitebrowser %u
Terminal=false
Type=Application
StartupNotify=true
MimeType=text/plain;
NoDisplay=true
Depois de ter feito este nome, o arquivo sqlitebrowser.desktop e salve o arquivo em ~/.local/share/applications
Depois de ter feito isso, navegue para um .sqlite3 e clique com o botão direito do mouse sobre ele, selecione Abrir com outro aplicativo
Em seguida, selecione Mostrar outros aplicativos e role para baixo para selecionar o Navegador de banco de dados SQlite na lista e agora ele será o aplicativo padrão para abrir os arquivos .sqlite.