Esse comando find parece familiar ...
Para restringir o comando find apenas aos arquivos pertencentes apenas a um determinado usuário, você pode usar a opção -user ; para restringi-lo apenas a arquivos de propriedade do usuário que está executando o script (ou seja, se você estiver executando o script usando sudo somente arquivos de propriedade do root serão correspondidos), passe $USER como argumento para a opção -user :
find . -name "*string1*" -user "$USER" -ok rename -v -- 's/(.*)\/(.*)string1(.*)/\/beginning_string3/' {} \;
Você pode substituir {} \; por {} + para um melhor desempenho:
find . -name "*string1*" -user "$USER" -ok rename -v -- 's/(.*)\/(.*)string1(.*)/\/beginning_string3/' {} +