Um JRE já está disponível nos repositórios do Ubuntu: OpenJDK. Não é o Oracle JRE oficial, mas funciona bem.
Para instalá-lo, basta executar no console:
sudo apt-get install openjdk-7-jre
Para suporte a Java no navegador, execute:
sudo apt-get install icedtea-7-plugin
Nota: você pode usar o Ubuntu Software Center para pesquisar e instalar esses pacotes.
O OpenJDK funciona bem, mas se você quiser o Oracle JRE oficial, substitua o primeiro comando por:
sudo add-apt-repository ppa:webupd8team/java
sudo apt-get update
sudo apt-get install oracle-java7-installer