A sua placa ATI está listada como suportada pelo driver ATI de origem próxima (Catalyst)
Para instalá-lo, execute
sudo apt-get install fglrx fglrx-amdcccle
E reinicie.
Para detalhes adicionais, consulte
Anexei o monitor externo ao meu laptop (Dell Vostro 3350 com placa de vídeo ATI Radeon HD6470), mas a imagem tem qualidade ruim: tudo está borrado. Onde e como configurar isso?
Pode ser que seu segundo monitor não esteja sendo executado no nativo para a sua resolução de tela (aquela recomendada).
Tente reproduzir com diferentes resoluções de segunda tela:
Pressione Win (ele abre o painel de unidade ou a visão geral do gnome-shell - o que quer que você use) e digite na caixa de pesquisa Exibe - ele mostrará as Configurações de exibição. Alternativamente, clique no menu do usuário no canto superior direito e escolha Configurações do Sistema. Em seguida, na janela aberta, você verá Displays. Lá você verá os dois displays e poderá alterar a resolução no segundo.
Espero que ajude.