Os arquivos de imagem, pelo menos, são armazenados em:
/home/<username>/.cache/webbrowser-app/captures
O problema é que o webbrowser-app
se destina a exibir aplicativos da web no Unity 7 e a ser usado no estilo móvel no Unity 8. Ele não se comporta como um substituto completo para outros navegadores.
Clique com o botão direito do mouse e a imagem no navegador e escolha: Abrir em nova guia. Você verá a imagem salva aparecer no diretório de capturas; mas não se parecerá com o save limpo que você obteria do Firefox. No entanto, esse é o arquivo de imagem salvo.
Os downloads são manipulados (de uma forma que eu ainda não descobri totalmente)
/home/<username>/.local/share/webbrowser-app
através do diretório LocalStorage
e dos bancos de dados sqlite.
Acho que você pode achar que o atual webbrowser-app
pode não ser totalmente adequado para substituir os navegadores padrão. Existem outros navegadores de luz. O mais completo é (imo) midori
.