Todos os atalhos de teclado só são realmente "garantidos" para funcionar perfeitamente no gnome-terminal. Outros terminais (tty, putty, iterm, konsole, cmd.exe do Windows) comem o controle / shift / alt e as teclas f de maneiras não óbvias. Essa é a fonte do seu problema ctrl-F2 - o tty não passa o ctrl-F2 para o tmux corretamente.
Quanto a dividir o Byobu em 4 terminais, você pode criar um layout de janela e salvá-lo. Veja a byobu (1) página de manual para instruções.
Divulgação completa: Eu sou o autor e mantenedor do Byobu .