Uma entrada crontab deve ser um comando shell executável. Uma URL não é um comando shell executável. Tente */1 * * * * root wget -q -O- http://www.mywebsite.com/crondemo.php em vez disso. wget é um comando que busca uma URL. -q diz ao wget para não imprimir o progresso, e -O- diz para ele enviar a URL buscada para o stdout, que o cron irá enviar por e-mail.
Se você deseja receber e-mails do cron, certifique-se de definir MAILTO corretamente acima do job relevante em seu crontab e certifique-se de que o seu sistema MTA esteja funcionando. Você pode usar o comando mail para testar isso.
O conteúdo de /var/log/syslog também pode ajudá-lo a diagnosticar problemas do cron, já que o cron registrará tentativas de execução lá mesmo que não seja possível enviar por e-mail (desde que seu crontab esteja instalado e forneça corretamente um agendamento de trabalho).
Finalmente, o comentário está correto. Como uma exceção, as alterações em /etc/crontab são selecionadas automaticamente.