Instale MinimizeToTray revivido no thunderbird (você pode fazer isso via add-on menu dentro do thunderbird também).
Uma vez instalado, vá para suas preferências e selecione a opção "em vez de fechar e minimizar" na seção "Minimizar para a bandeja".
Agora, depois de abrir o thunderbird, você pode fechá-lo a partir do botão "fechar" na barra de título, e ele continuará sendo executado em segundo plano, verificando os e-mails periodicamente. Mas não será mais uma "janela" aberta e, portanto, não aparecerá em alt + tab.