Esta questão é bastante antiga, mas uma resposta pode servir pessoas como eu, que chegam aqui através de uma sessão de google de quarenta minutos.
Começando com um pequeno aviso: Estou em um Raspberry Pi 3 com uma imagem Jessie do Raspbian (Debian).
Meu sistema mostrou os mesmos sintomas que o OP tinha (vpn indo bem, e depois de alguns minutos, de repente, não há mais navegação ou ping para endereços como www.google.com). Além disso, descobri que ainda era capaz de pingar endereços IP (como 8.8.8.8). Isso se encaixa bem com o problema de DNS reivindicado.
Eu encontrei a solução aqui no askubuntu SE: usando o pacote resolvconf e alterando o arquivo ovpn-client .