O Linux tem problemas com os drivers Broadcom, eu mesmo tenho um laptop Lenovo com o mesmo adaptador sem fio e sempre tenho que instalar manualmente os drivers em qualquer distribuição Linux.
No Ubuntu, a maneira mais fácil é instalar o driver proprietário, pois os drivers de código aberto integrados ao kernel não funcionam com esta placa. Em primeiro lugar você tem que ter acesso à Internet no dispositivo de qualquer outra forma, seja através de um cabo ethernet ou, por exemplo, um dispositivo Android. Você pode conectar seu telefone ao seu WiFi e conectar a conexão ao seu laptop.
Em seguida, abra o programa Drivers adicionais no iniciador de aplicativos do Dash e procure o adaptador sem fio Broadcom (no momento, não estou em minha máquina ubuntu, por isso não posso verificar texto que será mostrado, se alguém tiver o mesmo cartão, livre para comentar e eu vou editar a resposta). Marque a caixa de seleção usar driver proprietário e clique em aplicar. Levará alguns minutos e seu driver será instalado. Você pode ter que reiniciar para aplicar as alterações