Encontrei algum link aqui ( Esconda o stdout de um processo somente quando ele estiver rodando em background ) sobre redirecionar a saída do processo em execução, mas o meu caso (um registro do módulo para stdout) é um pouco diferente.
Porque estou usando um módulo que registra para stdout. Eu posso executar o processo em segundo plano e redirecionar a saída para algum arquivo de texto (o comando que usei: puma > console.txt). Mas até agora não encontrei nenhuma maneira de redirecionar esse registro ou deixar um stdout para ele (porque o registro ainda é impresso no console, não no arquivo).