Você não precisará autenticar-se como usuário elementar do Ubuntu ou como usuário do Ubuntu no Elementary OS. Você só precisa ter o mesmo UID nos dois sistemas. Em seguida, montar o sistema de arquivos em um dos sistemas operacionais permitirá que você tenha acesso regular ao usuário.
Se você deseja que os arquivos estejam sempre acessíveis, crie uma entrada /etc/fstab para cada um dos sistemas operacionais dentro do sistema operacional um do outro. Aqui está uma explicação muito longa de como fazer isso: link
Além disso, você precisaria criar um novo diretório em cada SO, onde o diretório inicial pode ser montado para o outro.
Se os sistemas tiverem IDs de usuário diferentes, você poderá adicionar uma nova conta de usuário a cada sistema operacional. Configure as senhas para cada sistema de forma redundante manualmente ou crie uma nova conta de usuário em cada sistema e copie a linha de senha de /etc/shadow de um sistema para /etc/shadow do outro. Mas seja extremamente cuidadoso ao copiar apenas uma linha. Parafuse este arquivo e você terá que inicializar no modo de recuperação para corrigir suas senhas.