Você poderia estar usando uma tela que não suporta Full HD nativa (1920x1080), mas talvez apenas HD Ready (1280x720)? Em caso afirmativo, selecione a resolução apropriada para sua tela.
Ao conectar um monitor HDMI externo, ele é detectado e tudo deve estar funcionando imediatamente, exceto que quando a resolução é definida para 1920x1080, a exibição no HDMI é realmente de baixa qualidade.
Brincando com o xrandr, ao definir a resolução a 1680x1050 ou menos, tudo fica tranquilo, ao definir 1920x1080 ou 1920x1080i, com ampla variedade de taxas de atualização, é a mesma exibição de baixa qualidade.
Infelizmente, não posso postar uma imagem que mostre exatamente o problema (baixa reputação).
Especificações:
Dell Inspiron 14 (Intel HD Graphics) Samsung TA550
Você poderia estar usando uma tela que não suporta Full HD nativa (1920x1080), mas talvez apenas HD Ready (1280x720)? Em caso afirmativo, selecione a resolução apropriada para sua tela.