Você precisa ativar o encaminhamento do agente ssh para ativar a autenticação baseada em chave no segundo segundo servidor. Acho que uma boa descrição está no tutorial do GitHub SSH
O problema é que, quando outros usuários fazem login no servidor A com o mesmo nome de usuário comum, eles podem usar o ssh no servidor B com o login sem senha funcionando. Isso significa que não pode ser um problema de permissões com o usuário comum no servidor A.
Meu login sem senha para o servidor B funciona a partir do meu host local, mas não depois que eu faça o login para o usuário comum no servidor A.
Qualquer ideia sobre o assunto poderia ser apreciada. Também me avise qualquer informação extra que possa ser necessária.
Você precisa ativar o encaminhamento do agente ssh para ativar a autenticação baseada em chave no segundo segundo servidor. Acho que uma boa descrição está no tutorial do GitHub SSH