Sim, você pode assistir ao Amazon Videos no Firefox, mas terá que usa o Firefox 49 ou mais recente. No momento em que escrevo, a versão do Firefox disponível nos repositórios oficiais do Ubuntu está atualmente em 48, então você terá que usar PPA Oficial para o Firefox Beta para atualizar seu Firefox para a versão 49:
sudo add-apt-repository ppa:mozillateam/firefox-next
sudo apt update
Se você já tem o Firefox 49 ou mais recente dos repositórios do Ubuntu sem usar nenhum PPA, você não precisa usar o PPA mencionado acima, a menos que queira experimentar a versão beta do Firefox.
Quando você tiver o Firefox 49 ou mais recente, abra o Firefox e navegue até o Amazon Video desejado. Haverá uma fita perguntando se você deseja reproduzir conteúdo DRM. Alternativamente, clique no botão do menu hamburger e vá para "Preferências" > "Conteúdo" e marque a caixa "Reproduzir conteúdo DRM".