Meu sistema operacional era na verdade uma versão de 64 bits. E o pacote do Eclipse que baixei foi de 32 bits. Parece estúpido, mas normalmente softwares de 32 bits são executados sem nenhum problema em sistemas operacionais de 64 bits. Então eu não prestei muita atenção lá.
Eu baixei a versão de 64 bits do Eclipse e ela funciona bem.
Obrigado @Sergey pelo tempo e paciência.