/var/log
está em /var/log
(pelo menos na versão 16.04.3 LTS que acabei de instalar no meu sistema Windows).
$ ls -l /var/log
total 304
drwxr-xr-x 0 root root 512 Sep 22 18:15 apt
-rw-rw---- 1 root utmp 0 Sep 22 18:15 btmp
drwxr-xr-x 0 root root 512 Jul 19 01:29 dist-upgrade
-rw-r--r-- 1 root root 12794 Sep 22 18:15 dpkg.log
drwxr-xr-x 0 root root 512 Sep 22 18:13 fsck
-rw-rw-r-- 1 root utmp 292292 Jan 14 19:58 lastlog
drwxr-xr-x 0 root root 512 Aug 23 04:06 lxd
drwxr-x--- 0 root adm 512 Aug 1 04:46 unattended-upgrades
-rw-rw-r-- 1 root utmp 0 Sep 22 18:15 wtmp
Mas você não poderá redirecionar sua saída para uma lista de arquivos e subdiretórios (como eu lhe disse nos comentários).
Você pode esvaziar todos os arquivos de log pelo seguinte cronjob (para root):
find /var/log -type f -exec truncate -s 0 {} \;