O MonoDevelop é um IDE para fazer aplicativos .NET que podem ser executados em qualquer coisa com um tempo de execução do .NET. Seu EXE pode rodar em qualquer máquina Linux com o Mono instalado. O mesmo arquivo também será executado no Windows (supondo que você esteja usando práticas básicas de plataforma cruzada). Aplicativos como este estão no formato Portable Executable, então eles têm a extensão EXE que especifica isso (o Windows não executará de outra forma).
"Mono" é o nome de uma implementação do tempo de execução do .NET para sistemas Linux. Como você já está usando o MonoDevelop, aposto que o seu sistema já tem o Mono instalado e funcionando. Você pode executá-lo com mono usando um comando assim:
mono application.exe
P.S. - Eu notei que especificar explicitamente mono não é necessário em meus sistemas mais atualizados. Eu não sei os detalhes, mas agora posso executar esses aplicativos de maneira ainda mais simples. Como qualquer outro aplicativo linux:
./application.exe