A versão de 64 bits do Steam no site Steam não está funcionando corretamente em sistemas 16-bit 16.04 LTS (loop de login). No entanto, como o CelticWarrior disse, a versão de 32 bits do repositório "multiverse" é perfeitamente funcional e suportada. Certifique-se de ter o repositório "multiverse" ativado e, em seguida:
sudo apt-get install steam
ou
sudo apt install steam
Além disso, não se preocupe se você tem uma versão de 32 bits do Steam. Jogos que são de 64 bits serão instalados como tal.
Eu não recomendo jogos no linux no momento. A menos que você esteja executando uma placa nVidia, o suporte para AMD e Intel OpenGL é terrível e, em geral, o DirectX, no Windows, é uma API de nível mais baixo, mais rápido e melhor. Espero sinceramente que isso mude com a introdução do Vulkan.
Eu adoraria rodar jogos como CS: GO corretamente no linux (não renderiza tela cheia, ~ 20% fps, etc.), assim como futuros jogos que podem utilizar o Vulkan. No entanto, não vejo isso no momento. Stick para o Windows para jogos. Em uma nota lateral, também tem suporte mais fácil e eficiente para teclados de jogos.