Sim, você definitivamente pode, mas dependerá de algumas coisas, como se ele usa um banco de dados. Se não, é mais fácil.
Eu costumava fazer muito, e criaria um site virtual em /etc/apache2/sites-enabled/000-default.conf
com o mesmo nome. Então eu criaria uma entrada em /etc/hosts
para redefinir esse nome para localhost. Esta parte não é realmente necessária, mas pode ser conveniente se houver links absolutos. Então, eu comentaria a entrada no arquivo hosts após o upload. Mas você também pode criar o nome que quiser, desde que corresponda ao nome no arquivo de configuração do apache.
Já faz um tempo desde que eu fiz isso, mas eu posso ter um backup em algum lugar se você precisar de detalhes. Mas o básico é adicionar uma entrada VirtualHost após a existente, algo assim:
<VirtualHost *:80>
<Directory /var/www/html/MYSITE>
Options Indexes FollowSymLinks MultiViews
AllowOverride All
Order allow,deny
allow from all
</Directory>
DocumentRoot /var/www/html/MYSITE/
ServerName WHATEVER_YOU_WANT.X
</VirtualHost>