Excelente pergunta, eu não sabia como canalizar stderr , mas achei a resposta aqui .
Então, quando você tiver seu stderr canalizado, você pode substituir todo início de linha ( ^ ) pela mensagem desejada. Aqui eu chamei o comando date para exibir a hora.
php someFile.php 2>&1 >> stdout.txt | sed "s/^/'date +'Error received the %d:%m:%y at %H:%M:%S : ''/" >> stderr.txt