Como você nos disse que o QGis precisa do caminho ~/bin/qgis/lib
no caminho da biblioteca, altere o arquivo da área de trabalho da seguinte forma:
TryExec=$HOME/bin/qgis/bin/qgis
Exec=env LD_LIBRARY_PATH=$HOME/bin/qgis/lib $HOME/bin/qgis/bin/qgis %F