Então, após 1,5 anos de testes, parece que finalmente resolvi esse problema. Tudo o que foi necessário foi esclarecer o assunto. Literalmente.
Isso é o que só consegui ver depois de colocar uma luz direta e brilhante no slot PCIe:
Suponho que isso aconteceu quando inseri minha placa de vídeo pela primeira vez naquele slot. O cartão pode ter empurrado alguns pinos para cima, encurtando o circuito e causando todos os congelamentos.
A única ferramenta que eu tive para chegar a esse espaço estreito e tentar soltar esses fios foi um canivete. Eu estava meio desesperado, meio bem com o fato de que eu teria que arranjar outra placa-mãe se quisesse brincar na minha máquina, então eu fui em frente e comecei a empurrar a faca para lá e empurrar esses fios para trás e para baixo, para ver se eu pudesse colocá-los de volta em seus lugares. Eu faço não recomendar esta técnica.
Minha técnica tinha tudo para dar errado. No entanto, funcionou e meu sistema está livre de congelamentos por mais de um mês.