Não, o Ubuntu não exige que o mysql esteja em execução. Você provavelmente instalou o mysql enquanto instala outra coisa também. Para desabilitar o mysql de iniciar automaticamente você pode querer executar:
sudo update-rc.d mysql disable
Se você não quer mais o mysql instalado, então você pode:
sudo apt-get remove mysql-server
Por favor, note que se você remover o pacote "mysql-server", seu sistema Ubuntu provavelmente reportará que existem outros pacotes que dependem dele que podem ser removidos. Nesse caso, você terá que optar por fazê-lo ou não, antes de prosseguir.