A partir da sua descrição, não parece que o Centro de Software esteja corrompido.
O suporte para o Ubuntu 16.10 terminou há cerca de 8 meses. Simplesmente não há mais nenhum software novo disponível para o Centro de Software exibir. Esses repositórios de software foram fechados e retirados (é o que acontece quando o suporte termina).
Não é aconselhável continuar usando o 16.10 por muito mais tempo - seu sistema não recebeu nenhuma atualização de segurança por oito meses e pode estar vulnerável a explorações publicadas.
Você tem três opções:
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Você pode fazer backup de seus dados (e-mail, fotos, configurações do navegador, etc) e instalar o Ubuntu 16.04 LTS , que é totalmente suportado por três anos . Ele vai se parecer muito com seu atual sistema 16.10.
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Você pode esperar até o final de abril de 2018 e, em seguida, fazer o backup dos seus dados e instalar o recém-lançado Ubuntu 18.04 LTS , que será totalmente suportado por cinco mais anos . O visual e a sensação serão ligeiramente diferentes (ligeiramente, não muito), já que o sistema evoluiu um pouco em dois anos.
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Você pode fazer backup e instalar o Ubuntu 17.10 atual, que é suportado por apenas mais seis meses . Eu não recomendo esta opção para você, pois o mesmo problema (fim do suporte) irá ocorrer novamente em breve.
Independentemente da opção escolhida, preservar seus dados é muito importante. Instalar uma nova versão do Ubuntu é uma cirurgia bastante séria - há chances de complicações sérias. Essas complicações, embora raras, podem levar à perda completa de dados, deixando o seu PC fisicamente ileso.
Este site tem as histórias e lágrimas de algumas pessoas que sofreram apenas essas complicações raras e perderam todas as suas fotos, e-mails e trabalho. Não deixe que isso aconteça com você - reserve alguns minutos e preserve seus dados antes de iniciar qualquer uma dessas opções.