Eu encontrei uma solução para o meu problema. man dhclient indica que um script é invocado por dhclient quando recebe uma concessão. Outras leituras de man dhclient-script e do script propriamente dito descrevem a localização dos scripts que dhclient executa dependendo da fase do processo dhcp.
Os ganchos estão localizados nos diretórios /etc/dhcp/dhclient-enter-hooks.d e /etc/dhcp/dhclient-exit-hooks.d para antes e depois da execução de dhclient . Como estou interessado em executar um script após uma renovação bem-sucedida, coloquei meu script dentro do diretório ...-enter-hooks.d .
Aqui está o script, verificando as fases específicas que significam um novo endereço IP dhcp antes de executar o script dns dinâmico:
case "$reason" in
BOUND|RENEW|REBIND|REBOOT)
sh /etc/network/rinker.sh
;;
esac
Eu tenho rinker.sh do link , que é apenas um simples wget chamada para o URL de atualização do site.