Resposta encontrada!
Também não consegui obter um menu clicando com o botão direito do rato no ambiente de trabalho. Pesquisando nesta questão trouxe a solução, que é usar a ferramenta Gnome Tweak. Eu aparentemente desliguei Ícones da área de trabalho mesmo que nenhum deles tenha sido selecionado. Ativar isso, mas não deixar nenhum ícone selecionado, restaurou o comportamento normal da área de trabalho e do papel de parede.