Tudo o que fiz foi acessar o link e selecionar "Mostrar todas as plataformas". Em seguida, cliquei e baixei o arquivo Minecraft.jar. É isso aí. Apenas certifique-se de ter o Java instalado. Você também pode precisar clicar nas propriedades do arquivo Minecraft.jar e alterar o arquivo para ser iniciado como um executável.
Pode haver outras maneiras, mas isso funcionou para mim.