O Broadcom 14e4: 4315 é bastante incomum, pois a solução muda de versões anteriores do Ubuntu para versões posteriores. No Ubutnu 13.10, que você está usando, o dispositivo usa o driver nativo b43 e o firmware que precisa ser baixado separadamente. Por favor, primeiro tente desfazer quaisquer tentativas anteriores que falharam; abra um terminal e faça:
sudo apt-get purge bcmwl-kernel-source
Se o terminal informar que não foi instalado, portanto, não foi removido, tudo bem, continue. Obtenha uma conexão Ethernet com fio temporária e faça:
sudo apt-get install linux-firmware-nonfree
Desanexe a ethernet, reinicie e deixe-nos ouvir seu relatório.