O Java é feito de tal forma que um aplicativo Java pode ser executado em diferentes sistemas operacionais sem alterar o código e recompilá-lo. É (por exemplo) fácil introduzir coisas específicas do Windows e, assim, impedi-lo de rodar em Linux ou Mac.
É claro que você precisará instalar tudo o que seu aplicativo java precisa novamente no lado do Linux. Alternativamente, você também pode configurar um MySql-Server em um computador diferente e torná-lo acessível tanto do lado do Windows quanto do Linux.