Como mencionado por searchfgold6789, você deseja verificar a opção "Lembrar-me" ou semelhante, para que "a senha" seja salva.
Na verdade, a maneira como esse recurso funciona em qualquer site é usando um cookie. Se você verificou essas opções e ainda faz o logout, isso significa que o Firefox não está salvando os cookies entre as sessões. Por padrão, o Firefox está configurado para não excluir os cookies. No entanto, você pode ter alterado essas configurações e isso significa que você perderá "a senha" toda vez que fechar o Firefox e reiniciá-lo.
Veja as configurações do Firefox, você pode descobrir que os cookies são excluídos. Isso está na página about: config. Clique no botão que aparece e no filtro digite cookie para ver o que você consegue lá. Por exemplo:
network.cookie.lifetime.days default integer 90
Se esse número for 1, ele "esquecerá" o cookie em um dia.
Outra razão pela qual você pode perder sua sessão: se você usa a mesma conta de vários computadores, o site que você está acessando pode desconectá-lo das sessões mais antigas. No entanto, se esse for o caso, você deverá ver o mesmo efeito em todos os navegadores e em todos os sistemas operacionais (por exemplo, no Windows IE, no Firefox e no IE, você será desconectado).