Como a alteração da senha de outro usuário é uma tarefa administrativa, isso deve ser feito por um usuário com permissões de administrador. Qualquer administrador desse tipo tem acesso a sudo e poderá alterar a senha de outro usuário com o seguinte comando:
sudo passwd USERNAME
Ser-lhe-á pedida a sua palavra-passe sudo primeiro e, em seguida, terá de introduzir a nova palavra-passe para o utilizador indicado USERNAME por duas vezes.
Do ponto de vista da segurança, não faz muito sentido deixar que usuários não administradores alterem as senhas de todos os usuários. Essa seria uma maneira perfeita de obter acesso de administrador (ou de bloquear acidentalmente o administrador).
Portanto, todos os usuários que você precisa para poder alterar a senha de outros usuários devem ter uma conta de administrador (e aprender sobre a responsabilidade que vem com isso).