Eu tenho exatamente o mesmo problema com os drivers: é um problema bem conhecido no kernel do Linux com os adaptadores ethernet Realtek, veja aqui e aqui . Eu estou supondo que você instalou o driver r8168 da Realtek à mão no topo do driver r8169 que vem com o kernel do Linux. Observe que esses números não são números de versão, mas nomes de produtos. Algumas pessoas dizem que o driver r8168 da Realtek funciona melhor que o driver r8169 do kernel Linux.
Se eu estiver certo, então você está instalando um módulo do kernel sobre os drivers instalados pelo pacote linux-image- * do apt. Quando você atualiza esse script, ele reconstrói os módulos do kernel e não sabe como reinstalar o driver personalizado. O problema não é o driver, mas o kernel inteiro.
Você pode tentar fixar o linux-image para que o apt nunca o atualize, mas você perde as atualizações do kernel. Como alternativa, você pode reinstalar o driver Realtek manualmente após cada atualização do kernel, executando novamente o autorun.sh a partir do código r8168. Uma terceira opção, um dos links acima tem uma solução que recomenda a lista negra do módulo r8169 que vem com o kernel. No entanto, isso pode deixar você com um kernel com nenhum driver para sua ethernet, eu não sei o suficiente sobre módulos e ramdisks para aconselhá-lo com segurança.