O Java Runtime Environment (JRE) ainda está disponível para o Ubuntu; é fornecido por um terceiro repositório de partes com o nome do pacote update-sun-jre. Obviamente, isso não funcionará no uso do navegador quando o navegador soltar a API que ele usa, mas se sua assinatura puder ser feita offline, isso provavelmente resolverá o problema para você.
Caso contrário, você pode querer examinar as razões que levaram a Mozilla a abandonar o NPAPI - que se resume à segurança. Flash e Java, os principais usuários dessa API, são pesadelos de segurança, e a tendência no design de navegadores tem sido por vários anos afastar esses ajudantes de XML e HTML5 para fazer os mesmos trabalhos. Pode ser um bom plano perguntar ao seu banco quando eles estarão atualizando para ferramentas mais seguras, ou como você pode garantir a segurança da sua conexão com eles se eles insistirem em usar ferramentas desatualizadas.
Outra possibilidade, embora não saiba quanto tempo permanecerá viável, é mudar para o navegador SeaMonkey. É o Firefox sob a pele, mas parece o antigo Netscape Internet Suite - e, no momento, ainda suporta Java (e flash, via plug-in pepperflash). Em geral, são algumas versões do Firefox, portanto, você pode ganhar algum tempo para uma solução melhor.
A última e pior opção da IMO seria usar o Wine para instalar e executar o Internet Explorer - mas evito até mesmo mencionar que isso é possível ao discutir esse problema de segurança com seu banco.