Você tem a sintaxe bash no corpo esperado (não vejo por que você acha que precisa de uma substituição de processo). Quando se trata de citar o inferno no bash, um documento aqui é bastante útil
expect <<END_EXPECT
spawn ssh-add "$SSH_PRIVATE_KEY"
expect "Enter passphrase"
send "$SSH_PASSPHRASE\r"
expect eof
END_EXPECT