Missão cumprida! Esta página me ajudou muito .
Tudo o que precisei fazer foi adicionar "Permitir todos" ao acesso ao servidor e às páginas de administração para que minha configuração fosse agora:
# Restrict access to the admin pages...
<Location /admin>
Order allow,deny
Allow all
</Location>
# Restrict access to configuration files...
<Location /admin/conf>
AuthType Default
Require user @SYSTEM
Order allow,deny
</Location>
Agora, só preciso descobrir que só permita que as pessoas na minha rede local acessem as páginas de administração e os arquivos de configuração :) (embora provavelmente não seja grande coisa, já que não tenho o encaminhamento de porta para 631 configurado o roteador?).
EDIT: Para permitir apenas um determinado computador eu poderia ter feito algo como
<Location /admin>
Order allow,deny
Allow from 10.10.10.5
</Location>
Ou para toda a sub-rede 10.10.10,
<Location /admin>
Order allow, deny
Allow from 10.10.10.*
</Location>