A mensagem gdisk sobre Found invalid GPT and valid MBR... provavelmente significa que o disco usado para contém uma Tabela de Partição GUID (GPT), mas foi convertida para usar o registro mestre de inicialização (MBR) mais antigo esquema de particionamento por uma ferramenta que não conhecia o GPT ou que fazia um trabalho incompleto de aniquilar as estruturas de dados do GPT. Se eu tivesse que adivinhar, diria que o computador veio pré-instalado com o Windows 8 ou posterior - a maioria desses computadores são inicializados no modo EFI e, portanto, usariam o GPT. Você então reinstalou o Windows no modo BIOS, que converteu o disco do formato GPT para MBR de maneira incompleta. (As ferramentas do Windows farão isso.)
A execução do disco desta maneira é muito boa, mas pode causar confusão e, em casos extremos, você pode acabar destruindo o disco. Você pode remover os dados da GPT perdidos com fixparts , que vem com o Ubuntu. Consulte aqui para obter detalhes - pesquise GPT signatures detected na seção relevante.
Advertência: Há uma chance muito pequena de que algo mais tenha causado essa discrepância. Por exemplo, se você estivesse inicializando no modo EFI antes de sua falha e algo escrevesse a tabela de partições no formato MBR, seria possível que você visse resultados semelhantes. Isso não parece muito provável, no entanto. Se é o que aconteceu, usar fixparts para apagar os dados da GPT perdidos seria piorar a situação. Por esse motivo, e como uma tentativa de restaurar a inicialização do sistema também pode ser prejudicial, recomendo strongmente que você faça backup do disco ou, pelo menos, de seus arquivos importantes do usuário antes de fazer qualquer outra coisa.
Os dados da GPT não são o seu principal problema; Você diz que não pode arrancar. Como o computador parece não conter nada além do Windows, isso é fundamentalmente um problema do Windows, então você deve perguntar sobre isso em um fórum do Windows. (Não vejo nenhuma evidência de uma instalação do Ubuntu no disco, embora você obviamente tenha usado ferramentas do Linux para coletar as informações do disco.) Se você também tiver uma instalação do Ubuntu, por favor, esclareça onde ela está instalada, pois isso pode ser importante. Provavelmente, é melhor remover os dados da GPT perdidos antes de tentar um reparo, caso os dados da GPT confundam as ferramentas de reparo do Windows ou qualquer outro utilitário que você possa tentar executar.