O problema acabou sendo o firmware do mSata da Toshiba, um problema que vários funcionários de suporte da Lenovo não sabiam quando eu liguei para eles. A solução exigia uma atualização de firmware específica fornecida pela Lenovo, executada a partir de um USB inicializável criado com - obviamente - um executável do Windows. Para qualquer um que tenha problemas semelhantes com o ThinkPad SSD, siga as instruções aqui se tiver acesso para um computador Windows.
Tudo funciona bem agora e meu X240 está inicializando 16.04 do SSD, um pouco mais rápido do que antes.