Fico feliz que o hardware esteja OK: -)
O problema pode ser que os drivers proprietários dos chips Radeon não são mais desenvolvidos / suportados. Por outro lado, o driver livre correspondente é desenvolvido e muito bom em 16.04.1 LTS e versões mais recentes do Ubuntu.
Por favor, tente mudar para o driver livre (removendo o driver proprietário). Se tivermos sorte, funcionará com sua placa gráfica.
Este link mostra como remover o driver proprietário das placas Radeon:
askubuntu.com/questions/68306/how-do-i -remover-the-proprietary-ati-drivers
Caso contrário, você pode usar uma versão mais antiga, onde o driver proprietário ainda está funcionando, por exemplo, 14.04.1 LTS. Infelizmente essa versão do Xubuntu só é suportada por 3 anos, até abril deste ano. Mas enquanto isso você pode encontrar outra solução.