Use o mysqldump para criar um arquivo de exportação e importá-lo para o outro mysql. A exportação é um arquivo de texto, portanto caso a versão do novo sistema operacional seja menor e você tenha usado coisas disponíveis somente na versão mais recente los fora. Para exportar ...
mysqldump -u {user} -p {database} >/tmp/backup.sql
... para cada banco de dados. Use um nome exclusivo para o arquivo de backup.