Você pode usar um CD ao vivo (ou outra mídia ao vivo, como o usb) para entrar no Ubuntu (experimente o modo). Uma vez lá, você pode montar todas as suas partições que possuem dados que você deseja e, em seguida, copiar seus dados para mídia externa (como um disco usb externo). Ou se você tiver espaço não alocado no seu disco rígido, você pode até usá-lo - veja Avançado: abaixo.
Se precisar, você pode usar o "sudo" para solucionar problemas de permissão. Não há senha para o sudo no live CD, apenas use o retorno de carro.
Depois de ter seus dados copiados, você pode instalar o Ubuntu.
Avançado:
No ambiente de CD ao vivo, você pode inspecionar todos os seus dispositivos e descobrir onde estão seus dados. Dessa forma, você pode responder suas perguntas sobre quais dispositivos ou partições você deseja preservar ou usar ou excluir em sua nova instalação.
Ou se você tiver espaço não alocado, você pode até mesmo criar uma nova partição no seu disco rígido usando o live CD, e colocar seus dados lá.
O instalador não precisa de todo o disco - ele só precisa de espaço não alocado suficiente e slots de partição primária suficientes, além de (talvez) algum espaço na primeira parte do disco. Então, se você tem muito espaço, você pode ter uma partição lógica na última parte do disco (onde você pode fazer o backup de seus dados), e o instalador ainda continuará. Ele não modifica seu disco sem avisá-lo, e você pode inspecionar o que vai fazer e modificá-lo um pouco, antes de continuar.
Uma ferramenta favorita para mim é "parted", para inspecionar partições e fazer partições.
Enquanto você está executando o live CD, você pode até instalar pacotes. Eles persistirão até você reiniciar. Portanto, se sua ferramenta de particionamento favorita não estiver disponível, você poderá instalá-la no ambiente ao vivo.