Supondo que você extraiu o pacote eclipse baixado e criou um arquivo iniciador eclipse.desktop de trabalho, então seu eclipse ainda precisa de pelo menos um JRE instalado (Java Runtime Environment) ou um JDK instalado (Java Development Kit - OpenJDK ou OracleJDK) para funcionar ...
Eu recomendaria que você instalasse o OracleJDK se também desenvolvesse com Java, senão você só precisa do OracleJRE ... Eu posso postar as instruções de como fazer isso de uma maneira muito limpa, se você precisar delas ...
O Eclipse deve localizar seu JRE / JDK instalado automaticamente, se tudo estiver instalado corretamente ... alternativamente, você pode dizer eclipse, onde encontrar o JRE / JDK:
abra o arquivo eclipse.ini com gedit (na sua pasta eclipse extraída) e edite-o da seguinte forma:
...
openFile
--launcher.appendVmargs
# add these lines ----------------------------------------
-vm
/path-to-jre-or-jdk-folder/jdk1.8.0_version/bin
# --------------------------------------------------------
-vmargs
...
Substitua 'path-to-jre-ou-jdk-folder' pelo caminho real no seu computador e substitua 'version' pelo número de versão do seu JRE / JDK instalado ...