O problema está no arquivo criado pelo Chromium. Usando seu exemplo, este é o .desktop que cria:
#!/usr/bin/env xdg-open[Desktop Entry]
Version=1.0
Name=Buy Me a Pie! - Lista de Compras
Exec=/usr/bin/chromium-browser --app=http://buymeapie.com/
Terminal=false
X-MultipleArgs=false
Type=Application
Icon=chrome-http___buymeapie.com_
Categories=Network;WebBrowser;
StartupNotify=true
StartupWMClass=buymeapie.com
o problema está na primeira linha, a "linha shebang" e a definição de entrada na área de trabalho devem estar em duas linhas diferentes
#!/usr/bin/env xdg-open
[Desktop Entry]
(...)
Então, isso deve ser um bug do Chromium. Para corrigir isso, você só precisa abrir o .desktop criado com um editor de texto e adicionar uma nova linha entre essas duas linhas.
PS: A linha Exec está correta: se você executar /usr/bin/chromium-browser --app=http://buymeapie.com/
em um terminal, o site será exibido.