Se você abrir um terminal no diretório onde salvou o Minecraft.jar, tente executá-lo com
java -jar Minecraft.jar
Sem mais informações, não há muito mais que eu possa recomendar. Há várias razões pelas quais o Minecraft pode não iniciar. Ao executar o comando acima, ele fornecerá pelo menos informações sobre o motivo da falha. Essa informação pode ajudá-lo a procurar uma solução, muitas das quais estão relacionadas como "perguntas relacionadas" na barra lateral aqui.
Eu posso dizer por experiência própria que o Java 8 da Oracle funciona bem com o Minecraft no Ubuntu, se estiver configurado corretamente. De fato, o Java 8 é necessário para muitos mods para que o Minecraft funcione.