Esta página diz que é a página inicial do driver alx: link Ela informa ainda que foi atualizada em 05 de março de 2013. Refere-se à árvore git aqui: link Como você pode ver, foi modificada pela última vez há dois anos. Portanto, sugiro que você tenha a versão mais recente (antiga) do driver.
De acordo com o modinfo, não há parâmetros manipuláveis no driver. Você pode, no entanto, ver se consegue ver os erros aqui:
cat /var/log/syslog | grep -e eth0 -e alx | tail -n25
Como a saída é longa, sugiro que cole aqui e nos forneça o link: link .
Talvez haja uma mudança no roteador ou no BIOS que ajudará. Eu sou especialmente suspeito sobre isso, já que a Intel normalmente confiável não tem um bom desempenho.
Eu não vejo muito sobre suas interfaces que é preocupante, no entanto, eu estaria certo de que o endereço IP selecionado está fora do intervalo de DHCP usado no roteador e você pode simplificá-lo um pouco: link
Além disso, quais são seus sintomas de instabilidade?
Com mais informações, vou editar esta resposta e propor uma solução.