Você está fazendo referência a uma variável $name que não existe no escopo do seu script, o número que você deseja usar para criar o nome do arquivo é armazenado na variável $i :
for i in {1..10}; do shutter -d 1 -f -o ${i}.png -e; done
Observe que coloquei a referência a $i entre colchetes, isso é mais seguro ao concatenar cadeias de caracteres.
Para mover todas as capturas de tela para ~/Desktop/School , você pode executar este comando:
mv *.png ~/Desktop/School
E para que este segundo comando seja executado automaticamente após o sucesso do primeiro, você pode encadeá-lo ao primeiro usando o operador && :
for i in {1..10}; do shutter -d 1 -f -o ${i}.png -e; done && mv *.png ~/Desktop/School