O Minecraft é um aplicativo java: você deve ter certeza de que você instalou o java, 6 ou 7. Eles podem ser carregados no centro de software do Ubuntu.
Supondo que você tenha o Java carregado, encontre o arquivo minecraft.jar em seu diretório de download, clique com o botão direito nele e marque-o como 'executável'. Em seguida, clique com o botão direito do mouse no arquivo minecraft.jar e diga "Abrir"
O Minecraft, como muitos jogos, depende do subsistema gráfico do seu computador. Pode ser mais lento do que você gostaria, e isso pode ser devido aos tempos de execução Java do OpenJDK, ou por causa do driver de gráficos em uso, ou algum outro problema. Você pode encontrar algum suporte aqui, mas você também pode precisar pesquisar na web por fóruns específicos de minecraft.