Esse não é um botão, mas é um ícone, um indicador e é chamado Menu de sessão . Veja esta resposta para a terminologia correta da Unity.
Agora, não creio que você tenha alguma chance de mover o indicador Menu da Sessão, que provavelmente está codificado por design, mas você pode tentar esta resposta para ver como você pode alterar a ordem dos indicadores.