Se você simplesmente instalar o cliente Ubuntu One no novo computador, faça login com ele na sua conta e assine todas as pastas que tiver no servidor, ele fará o download de tudo para a nova máquina.
Não há como baixar todos os seus dados diretamente do site, por meio de um arquivo zip ou similar.
Observe também que o Ubuntu One é mais do que apenas um serviço de sincronização de arquivos, pois também há u1db
para sincronização de dados estruturados, que os aplicativos podem usar e que podem não estar acessíveis diretamente pelo site, dependendo em quais dados são armazenados lá. Acessar quaisquer dados de aplicativos que usam u1db
também exigirá instalá-los e associá-los à sua conta do Ubuntu One, para que eles possam se sincronizar na nova máquina.