Quando a pasta webdav é montada, você precisa executar algum tipo de sincronização. Eu tenho usado frequentemente rsync para coisas como o espelhamento de dispositivos de rede. O Rsync permite que você dite qual pasta tem prioridade, ou seja, em que direção sincronizar e permite que você adicione credenciais, embora elas não devam ser necessárias se a conexão do Nautilus funcionar corretamente.
O único problema que você tem é que o rsync é orientado por comando e você precisa encontrar o ponto de montagem da sua pasta webdav para a string de comando. Eu tenho nautilus-open-terminal instalado para que eu possa clicar com o botão direito em uma pasta no Nautilus e abra o terminal nesse local. Parece ser a maneira mais fácil de encontrar esse ponto de montagem.